確率論の基礎概念個人用まとめ2

今回は確率変数について書いていきます。前回の確率空間編も読んでね。

chinannya.hatenablog.com

 確率変数

以下確率空間を固定します。このときまず確率変数を定義しましょう。

Definition

を可測空間とする。関数が-可測であるとは、任意のに対して\begin{align}X^{-1}(A)\in\mathcal{F}\end{align}が成り立つことをいう。-可測なを-値確率変数という。が位相空間のときはのときを考える。特にのときは単に確率変数という。

さらに確率論特有の記号をいくつか整理しておきましょう。

Notation

を確率変数とする。\begin{align}\{X\in A\}&:=X^{-1}(A)\quad(A\in\mathcal{F}),\\P(X\in A)&:=P(\{X\in A\})\quad(A\in\mathcal{F}),\\P(a\leq X\leq b)&:=P(X\in[a,b])\quad(a<b)\end{align}と表す。

あとはよく使うであろう確率分布も一緒に定義しておきましょうね。

Definition

を-値確率変数とする。このとき]を\begin{align}Q(A):=P(X\in A)\quad(A\in\mathcal{E})\end{align}と定めればこれは上確率測度になっている。このをの確率分布といいで表す。

一応が上の確率測度になることはしめしておきます（ほかに書くことがないので）。

Proof

まずとなるので確率測度の定義（１）を満たすことがわかります。次にが互いに素であるとします。このときに対して、\begin{align}\{X\in A_i\}\cap\{X\in A_j\}=\{X\in A_i\cap A_j\}=\{X\in\emptyset\}=\emptyset\end{align}となっているから、\begin{align}Q(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)&=P(X\in\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=P(\bigcup_{i=1}^\infty\{X\in A_i\})=\sum_{i=1}^\infty P(X\in A_i)=\sum_{i=1}^\infty Q(A_i)\end{align}が成り立つ。

まとめ

今回は短いですがここまでにします。確率変数に対して成り立つ定理等はまた機会があればということで。

次回、いよいよ期待値を定義していきます。よろしくお願いします。

参考文献

1. 谷口説男, 『確率微分方程式』, 共立出版, 2016