確率論の基礎概念個人用まとめ1

いま自主ゼミで行っている確率微分方程式にあたって必要な確率論における基礎を個人用にまとめておきます。なおこれをのちにTeXにまとめるつもりなので必要な労力は2倍になる模様。ではさっそくいきましょ。

可測空間と確率空間

まずはそもそも確率論をするにあたって必要となる確率空間という基礎概念を定義していきましょう。まずはルベーグ積分論でもお馴染みの $\sigma$ -加法族を定義しておこう。

Definition集合 $\Omega$ の部分集合の族 $\mathcal{F}$ が $\sigma$ -加法族であるとは、(1) $\emptyset\in\mathcal{F}$ 、(2) $A\in\mathcal{F}$ ならば $A^c\in\mathcal{F}$ 、(3) $A_i\in\mathcal{F} (i=1,2,\ldots)$ ならば $\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{F}$ を満たすことである。また組 $(\Omega,\mathcal{F})$ を可測空間という。

$\sigma$ -加法族の簡単な例として、集合 $\Omega$ に対してその部分集合全体から成る集合族 $2^\Omega$ があります。

Definition $\mathcal{A}\subset2^\Omega$ を含む最小の $\sigma$ -加法族を $\sigma(\mathcal{A})$ と表し、 $\mathcal{A}$ の生成する $\sigma$ -加法族という。特に $\Omega$ が位相空間のとき $\Omega$ の開集合系 $\mathcal{O}$ が生成する $\sigma$ -加法族 $\sigma(\mathcal{O})$ をBorel加法族といい、 $\mathcal{B}(\Omega)$ とかく。

$\mathcal{B}\subset2^\Omega$ が $\mathcal{A}\subset2^\Omega$ を含む最小の $\sigma$ -加法族であるというのは次の条件を満たすことですね。

$\mathcal{B}$ は $\sigma$ -加法族である。
$\mathcal{A}\subset\mathcal{B}$ が成り立つ。
$\mathcal{C}\subset2^\Omega$ が $\mathcal{A}\subset\mathcal{C}$ を満たす $\sigma$ -加法族ならば $\mathcal{B}\subset\mathcal{C}$ が成り立つ。

そもそもこういうものが存在するかということなんですが、 $\mathcal{F}:=\{\mathcal{B}\in2^\Omega\mid \mathcal{B}{\text は}\mathcal{A}{\text を含む}\sigma{\text -加法族}\}$ として $\bigcap\mathcal{F}$ を考えればこれがそれになっています。暇があれば確認してみてくださいね（書くのがめんどくさい）。

以下しばらく可測空間 $(\Omega,\mathcal{F})$ を固定して話を進めていきます。いよいよ確率空間の定義です。

Definition関数 $P:\mathcal{F}\to[0,1$ ]が(1) $P(\Omega)=1$ 、(2) $A_i\in\mathcal{F}$ $(i=1,2,\ldots)$ が互いに素ならば $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$ を満たすとき確率測度という。さらに組 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ を確率空間という。

このとき簡単に次が成り立つことがわかります（簡単なので証明は略）。

Proposition

$P(\emptyset)=0$ 。
$A_1\cdots,A_n\in\mathcal{F}$ が互いに素ならば $P(\bigcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)$ が成り立つ。
$A_i\in\mathcal{F}$ $(i=1,2,\ldots)$ に対して $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)\leq\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$ が成り立つ。
$A,B\in\mathcal{F}$ が $A\subset B$ を満たせば $P(B\setminus A)=P(B)-P(A)$ が成り立つ。

また次が成り立ちます。

Theorem

$\{A_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ が $A_i\subset A_{i+1}$ $(i=1,2,\ldots)$ を満たすとき $\lim_{i\to\infty}P(A_i)=P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)$ が成り立つ。
$\{A_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ が $A_i\supset A_{i+1}$ $(i=1,2,\ldots)$ を満たすとき $\lim_{i\to\infty}P(A_i)=P(\bigcap_{i=1}^\infty A_i)$ が成り立つ。

これには流石に証明をつけておきましょうか。

Proof

まず $B_1:=A_1$ 、 $B_{i+1}:=A_{i+1}\setminus A_i$ $(i=1,2,\ldots)$ と定める。このとき定め方から $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ でこれは互いに素かつ $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=P(\bigcup_{i=1}^\infty B_i)$ となるので、\begin{align} P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=P(\bigcup_{i=1}^\infty B_i)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)=P(A_1)+\sum_{i=2}^\infty(P(A_{i+1})-P(A_i))=\lim_{i\to\infty}P(A_i)\end{align}が成り立つ。 $\Box$
まず $\{A_i^c\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ で $A_i^c\subset A_{i+1}^c$ $(i=1,2,\ldots)$ だから1より $\lim_{i\to\infty}P(A_i^c)=P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i^c)$ が成り立つ。よって、\begin{align}P(\bigcap_{i=1}^\infty A_i)&=P(\Omega\setminus(\bigcup_{i=1}^\infty A_i^c))=P(\Omega)-P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i^c)=P(\Omega)-\lim_{i\to\infty}P(A_i^c)\\&=\lim_{i\to\infty}(P(\Omega)-P(A_i^c))=\lim_{i\to\infty}P(\Omega\setminus A_i^c)=\lim_{i\to\infty}P(A_i)\end{align}が成り立つ。 $\Box$

最後に簡単な確率空間の例を挙げてみましょう。 $\Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}$ 、 $\mathcal{F}:=2^\Omega$ 、 $P(\{i\}):=1/6$ $(i=1,\ldots,6)$ とします。するとこれは出る目が同様に確からしいサイコロを一回投げたときの確率空間になっています。これが一番簡単だと思います。皆さんもいっぱい例を作ってみようね！